Question

如图，已知椭圆C：，经过椭圆C的右焦点F且斜率为k（k≠0）的直线l交椭圆G于A、B两点，M为线段AB的中点，设O为椭圆的中心，射线OM交椭圆于N点．
（1）是否存在k，使对任意m＞0，总有成立？若存在，求出所有k的值；
（2）若，求实数k的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：（1）椭圆C：，，c=m，F（m，0），直线AB：y=k（x-m），由，得（10k²+6）x²-20k²mx+10k²m²-15m²=0．设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），然后结合韦达定理进行求解．
（2）=x₁x₂+k²（x₁-m）（x₂-m）=（1+k²）x₁x₂-k²m（x₁+x₂）+k₂m²=（1+k²）•由此结合，能够导出实数k的取值范围．
解答：解：（1）椭圆C：，，c=m，∴F（m，0），直线AB：y=k（x-m），，（10k²+6）x²-20k²mx+10k²m²-15m²=0．设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则x₁+x₂=，
x₁x₂=；则x_m=，，若存在k，使AB为ON的中点，∴．
∴，
即N点坐标为．由N点在椭圆上，则
即5k⁴-2k²-3=0．∴k²=1或k²=-（舍）．故存在k=±1使．
（2）=x₁x₂+k²（x₁-m）（x₂-m）=（1+k²）x₁x₂-k²m（x₁+x₂）+k₂m²=（1+k²）•，
由，得=-≤-2m²，
即k²-15≤-20k²-12，k2≤，∴，且k≠0．
点评：本题主要考查直线与圆锥曲线的综合应用能力，具体涉及到轨迹方程的求法及直线与椭圆的相关知识，解题时要注意合理地进行等价转化．