Question

（本题满分14分）如图,三棱柱中,,,平面平面,与相交于点.

（Ⅰ）求证:平面；

（Ⅱ）求二面角的余弦值.

Answer 1

（Ⅰ）见解析 ；（Ⅱ）

【解析】

试题分析：（Ⅰ）证明直线和平面垂直的常用方法：（1）利用判定定理．（2）利用判定定理的推论（）．（3）利用面面平行的性质（）．（4）利用面面垂直的性质．本题即是利用面面垂直的性质；（Ⅱ）求面面角方法一是传统方法，作出二面角，难度较大，一般不采用，方法二是向量法，思路简单，运算量稍大，一般采用向量法.

试题解析：（Ⅰ）依题意,侧面是菱形,是的中点,因为,所以,

又平面平面,且平面,平面平面

所以平面. 5分

（Ⅱ）[传统法]由（Ⅰ）知平面,面,所以,

又,,所以平面,

过作,垂足为,连结,则,

所以为二面角的平面角. 9分

在中,,

所以, 12分

所以,即二面角的余弦值是. 14分

[向量法]以为原点,建立空间直角坐标系如图所示, 6分

由已知可得

故,

则, 8分

设平面的一个法向量是,

则,即,解得

令,得 11分

显然是平面的一个法向量, 12分

所以,即二面角的余弦值是. 14分

考点：线面垂直、二面角