Question

已知椭圆的两焦点分别为F₁，F₂，P是椭圆在第一象限内的一点，并满足，过P作倾斜角互补的两条直线PA，PB分别交椭圆于A，B两点．
（Ⅰ）求P点坐标；
（Ⅱ）当直线PA经过点（1，）时，求直线AB的方程；
（Ⅲ）求证直线AB的斜率为定值．

Answer 1

【答案】分析：（I）设P（（x，y），由题意可得，解得即可；
（II）由向量计算公式可得，两条直线PA，PB倾斜角互补，可得k_PA+k_PB=0，解得k_PB=1．
因此直线PA，PB，的方程分别为，，分别与椭圆方程联立即可解得点A，B的坐标，再利用斜率计算公式可得斜率，利用点斜式即可得出方程；
（III）S设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．设直线PA的方程为：，则直线PB的方程为．分别与椭圆方程联立即可解得点A，B的坐标，再利用斜率计算公式即可得出直线AB的斜率为定值．
解答：解：（I）由椭圆可得c=，∴两焦点分别为，．
设P（（x，y），由题意可得，解得，∴P．
（II）∵，两条直线PA，PB倾斜角互补，
∴k_PA+k_PB=0，解得k_PB=1．
因此直线PA，PB，的方程分别为，，
化为，．
联立，解得（舍去），，即A．
同理解得B．
∴k_AB==，∴直线AB的方程为，化为．
（III）S设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
设直线PA的方程为：，则直线PB的方程为．
联立，解得A．
同理B，
∴k_AB==．
即直线AB的斜率为定值．
点评：熟练则直线与椭圆相交问题转化为方程联立得到关于一个未知数的一元二次方程问题、斜率公式、两条直线PA，PB倾斜角互补?k_PA+k_PB=0等是解题的关键．