题目内容
【题目】设数列 
的前
项和为
，对一切
，点
都在函数
的图象上.
（1）求
，归纳数列的通项公式（不必证明）；
（2）将数列依次按1项、2项、3项、4项循环地分为
，
，
， 
；
，
，
，
；
，…，分别计算各个括号内各数之和，设由这些和按原来括号的前后顺序构成的数列为
，求
的值；
（3）设
为数列
的前项积，若不等式
对一切都成立，其中
，求
的取值范围.
【答案】（1）
，
，
；（2）2010；（3）
.
【解析】
（1）点
坐标代入函数解析式，得
，令依次
可求得
，归纳出通项公式；
（2）依题意，每一次循环记为一组.由于每一个循环含有4个括号，故
是第25组中第4个括号内各数之和．这样可求得（注意规律），而
，因此结论易用得．
（3）由
，得
，不等式
对一切
都成立， 就是
对一切都成立，
设
，则只需
即可.用作商的方法说明
是递减数列，从而问题易求解．
（1）因为点在函数
的图象上，故
，所以.
令
，得
，所以；令
，得
，所以，,……
由此猜想：.
（2）因为，所以数列
依次按1项、2项、3项、4项循环地分为（2），（4，6），（8，10，12），（14，16，18，20）；（22），（24，26），（28，30，32），（34，36，38，40）；（42），….
每一次循环记为一组.由于每一个循环含有4个括号，故是第25组中第4个括号内各数之和.由分组规律知，由各组第4个括号中所有第1个数组成的数列是等差数列，且公差为20.
同理，由各组第4个括号中所有第2个数、所有第3个数、所有第4个数分别组成的数列也都是等差数列，且公差均为20. 故各组第4个括号中各数之和构成等差数列，且公差为80.
注意到第一组中第4个括号内各数之和是68，
所以
.又
，所以
.
（3）因为，故，所以
.
又
，故对一切都成立，
就是对一切都成立，
设，则只需即可.
由于
，所以
，故是单调递减，
于是
，解得
.
