Question

【题目】已知椭圆的离心率为，，分别是椭圆的左右焦点，过点的直线交椭圆于，两点，且的周长为12．

（Ⅰ）求椭圆的方程

（Ⅱ）过点作斜率为的直线与椭圆交于两点，，试判断在轴上是否存在点，使得是以为底边的等腰三角形若存在，求点横坐标的取值范围，若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）存在，或

【解析】

（Ⅰ）由椭圆的离心率为和的周长为12可得，可求椭圆方程.
（Ⅱ）的中点为,由条件有，即,设，用直线的斜率把表示出来，可求解其范围.

（1）由题意可得，所以，，所以椭圆的方程为.

（2）直线的解析式为，设，，的中点为．假设存在点，使得为以为底边的等腰三角形，则．由得，

故，所以，

因为，所以，即，所以

当时，，所以；

当时，，所以

综上：m取值范围是或.