Question

（本题满分14分）已知

（1）证明：

（2）若在恒成立，求的最小值.

（3）证明：图像恒在直线的上方.

 

Answer 1

（1）详见解析；（2）的最小值为；（3）详见解析.

【解析】

试题分析：（1）考虑利用导数考查在上的单调性，从而将问题转化为求的最小值：， 即在上单调递增；当时，，即结论成立；（2）分析可知，问题等价于求函数在上的值域，通过求导考查单调性即可知，，要使成立，只需在恒成立，构造函数，再次利用导数考查单调性即可知，从而的最小值为；（3）分析可知，问题等价于证明在上恒成立，故考虑利用导数考查函数在上的单调性，从而问题就等价转化为证明.

试题解析：（1）∵，∴， 即在上单调递增， 2分

∴当时，，即结论成立； 3分（2）令，则，， 4分 ∴当时，，

要使，只需， 5分 要使成立，只需在恒成立， 6分

令，，则，由，

当时， 此时，有成立，

∴满足条件，当时，，此时，有，不符合题意，舍去，

当时，令，得，可得当时，，即时，，不符合题意舍去，综上，， 9分

又∵，∴的最小值为； 10分

（3）由题意只需证，即证在上恒成立，

令，， 11分

，即在单调递增，

又∵，∴在在唯一的解，记为，，

且，即， 12分

可得当时，，当时，，

∴只需最小值， 13分

易得，，∴，∴结论得证. 14分

考点：利用导数考查函数的单调性.