Question

设sinx+cosx=-

1

2

（其中x∈（0，π）），则cos2x的值为（　　）

• A．

  7

  4

• B．±

  7

  4

• C．-

  7

  4

• D．

  17

  9

Answer 1

分析：将已知的等式左右两边平方，利用同角三角函数间的 基本关系求出2sinxcosx的值，再利用完全平方公式求出（sinx-cosx）²的值，由x∈（0，π），得到sinx大于0，再由sinx+cosx的值小于0，得出x为钝角，可得出sinx-cosx大于0，cosx-sinx小于0，开方求出cosx-sinx的值，然后将所求式子利用二倍角的余弦函数公式化简后，把sinx+cosx及cosx-sinx的值代入即可求出值．

解答：解：把sinx+cosx=-

1

2

两边平方得：（sinx+cosx）²=

1

4

，
∴sin²x+2sinxcosx+cos²x=1+2sinxcosx=

1

4

，即2sinxcosx=-

3

4

，
∴（sinx-cosx）²=sin²x-2sinxcosx+cos²x=1-2sinxcosx=

7

4

，
∵x∈（0，π），
∴sinx＞0，又sinx+cosx=-

1

2

＜0，
∴x∈（

π

2

，π），
∴sinx-cosx=

7

2

，即cosx-sinx=-

7

2

，
则cos2x=cos²x-sin²x=（cosx+sinx）（cosx-sinx）=-

1

2

×（-

7

2

）=

7

4

．
故选A

点评：此题考查了二倍角的余弦函数公式，同角三角函数间的基本关系，以及完全平方公式的运用，熟练掌握公式是解本题的关键．