Question

如图1，已知抛物线C：y=3x²（x≥0）与直线x=a．直线x=b（其中0≤a≤b）及x轴围成的曲边梯形（阴影部分）的面积可以由公式S=b³-a³来计算，则如图2，过抛物线C：y=3x²（x≥0）上一点A（点A在y轴和直线x=2之间）的切线为l，S₁是抛物线y=3x²与切线l及直线y=0所围成图形的面积，S₂是抛物线y=3x²与切线l及直线x=2所围成图形的面积，求面积s₁+s₂的最小值．

Answer 1

解：设切点A的坐标为（a，3a²），（1分）
则y′|_x=a=6a所以切线l的方程为：
y-3a²=6a（x-a），令y=0
得x=，令x=2得y=12a-3a²，（3分）
所以=，
记，（5分）
则转化为求在a∈[0，2]时的最小值，
因为，由（7分）
解得或a=4，因为f（0）=8，f（2）=2，．（9分）
所以当，f（a）取得最小值．因此面积S₁+S₂的最小值．
分析：设切点A的坐标为（a，3a²），切线l的方程为y-3a²=6a（x-a），令y=0得x=，令x=2得y=12a-3a²，所以=，记，转化为求在a∈[0，2]时的最小值．
点评：本题主要考查直线与圆锥曲线的综合应用能力，具体涉及到面积s₁+s₂的最小值的求法及直线与抛物线的相关知识，解题时要注意合理地进行等价转化．