题目内容
如图1，已知抛物线C：y=3x2（x≥0）与直线x=a．直线x=b（其中0≤a≤b）及x轴围成的曲边梯形（阴影部分）的面积可以由公式S=b3-a3来计算，则如图2，过抛物线C：y=3x2（x≥0）上一点A（点A在y轴和直线x=2之间）的切线为l，S1是抛物线y=3x2与切线l及直线y=0所围成图形的面积，S2是抛物线y=3x2与切线l及直线x=2所围成图形的面积，求面积s1+s2的最小值．
【答案】分析：设切点A的坐标为（a，3a2），切线l的方程为y-3a2=6a（x-a），令y=0得x=
，令x=2得y=12a-3a2，所以
=
，记
，转化为求
在a∈[0，2]时的最小值．
解答：
解：设切点A的坐标为（a，3a2），（1分）
则y′|x=a=6a所以切线l的方程为：
y-3a2=6a（x-a），令y=0
得x=
，令x=2得y=12a-3a2，（3分）
所以
=
，
记
，（5分）
则转化为求
在a∈[0，2]时的最小值，
因为
，由
（7分）
解得
或a=4，因为f（0）=8，f（2）=2，
．（9分）
所以当
，f（a）取得最小值
．因此面积S1+S2的最小值
．
点评：本题主要考查直线与圆锥曲线的综合应用能力，具体涉及到面积s1+s2的最小值的求法及直线与抛物线的相关知识，解题时要注意合理地进行等价转化．
，令x=2得y=12a-3a2，所以=，记，转化为求在a∈[0，2]时的最小值．解答：
解：设切点A的坐标为（a，3a2），（1分）则y′|x=a=6a所以切线l的方程为：
y-3a2=6a（x-a），令y=0
得x=
，令x=2得y=12a-3a2，（3分）所以
=，记
，（5分）则转化为求
在a∈[0，2]时的最小值，因为
，由（7分）解得
或a=4，因为f（0）=8，f（2）=2，．（9分）所以当
，f（a）取得最小值．因此面积S1+S2的最小值．点评：本题主要考查直线与圆锥曲线的综合应用能力，具体涉及到面积s1+s2的最小值的求法及直线与抛物线的相关知识，解题时要注意合理地进行等价转化．
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