Question

已知sinα=

4

5

，α∈(

π

2

，

3π

2

)
（1）求sin2α-cos²

α

2

的值；
（2）求函数f（x）=

5

6

cosαsin2x-

1

2

cos2x的最小正周期和单调增区间．

Answer 1

分析：（1）由二倍角的三角函数公式化简，得原式=2sinαcosα-

1

2

（1+cosα）．根据sinα=

4

5

，利用同角三角函数的关系算出cosα=-

3

5

，代入化简后的式子即可得到所求式子的值．
（2）由（1）知f（x）=-

1

2

sin2x-

1

2

cos2x，利用辅助角公式化简得f（x）=-

2

2

sin（2x+

π

4

），再根据三角函数的周期公式和单调区间的公式加以计算，即可得出函数f（x）的最小正周期和单调增区间．

解答：解：（1）∵sinα=

4

5

，α∈(

π

2

，

3π

2

)
∴cosα=-

1-sin2α

=-

3

5

（舍正）
∴sin2α-cos²

α

2

=2sinαcosα-

1

2

（1+cosα）
=2×

4

5

×（-

3

5

）-

1

2

（1-

3

5

）=-

29

25

．
（2）由（1）的结论，可得
f（x）=

5

6

×（-

3

5

）×sin2x-

1

2

cos2x=-

1

2

sin2x-

1

2

cos2x=-

2

2

sin（2x+

π

4

）
∴函数f（x）的最小正周期=

2π

2

=π，
由

π

2

+2kπ≤2x+

π

4

≤

3π

2

+2kπ（k∈Z），得

π

8

+kπ≤x≤

5π

8

+kπ（k∈Z）．
∴函数f（x）的增区间为[

π

8

+kπ，

5π

8

+kπ]．（k∈Z）

点评：本题求三角函数式的值，并依此求函数f（x）的最小正周期和单调增区间．着重考查了同角三角函数的基本关系、二倍角的三角函数公式和三角函数的图象与性质等知识，属于中档题．