Question

（本小题满分12分）已知函数（I）求函数上的最小值；（II）求证：对一切，都有

Answer 1

【解】（I）f ′（x）＝lnx＋1，当x∈（0，），f ′（x）＜0，f （x）单调递减，
当x∈（，＋∞），f ′（x）＞0，f （x）单调递增．              ……2分
①0＜t＜t＋2＜，t无解；②0＜t＜＜t＋2，即0＜t＜时，f （x）_min＝f （）＝－；
③≤t＜t＋2，即t≥时，f （x）在［t，t＋2］上单调递增，f （x）_min＝f （t）＝tlnt；
所以f （x）_min＝．                                          ……6分
（II）问题等价于证明xlnx＞－（x∈（0，＋∞）），
由（I）可知f （x）＝xlnx（x∈（0，＋∞））的最小值是－，当且仅当x＝时取到．
设m （x）＝－（x∈（0，＋∞）），则m ′（x）＝，易得m （x）_max＝m （1）＝－，当且仅当x＝1时取到，从而对一切x∈（0，＋∞），都有lnx＞－．…12分

略