Question

在数列{a_n}中，a₁=1，a_n+1=

2an

2+an

（n∈N^*），
（1）写出这个数列的前5项；
（2）根据数列的前5项写出这个数列的一个通项公式（不需要证明）；
（3）令b_n=

anan+1

4

，证明：b₁+b₂+…+b_n＜

1

2

成立．

Answer 1

考点：数列与不等式的综合,数列的概念及简单表示法,数列递推式

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）根据在数列{a_n}中，a₁=1，a_n+1=

2an

2+an

（n∈N^*），代入即可得出；
（2）根据数列的前5项猜想这个数列的一个通项公式an=

2

n+1

(n∈N*)．
（3）由b_n=

anan+1

4

=

1

(n+1)(n+2)

=

1

n+1

-

1

n+2

，利用“裂项求和”b₁+b₂+…+b_n=(

1

2

-

1

3

)+(

1

3

-

1

4

)+…+(

1

n+1

-

1

n+2

)=

1

2

-

1

n+2

即可证明．

解答： （1）解：∵在数列{a_n}中，a₁=1，a_n+1=

2an

2+an

（n∈N^*），
∴a₂=

2

2+1

=

2

3

，同理a₃=

1

2

，a₄=

2

5

，a₅=

1

3

．
（2）解：根据数列的前5项猜想这个数列的一个通项公式an=

2

n+1

(n∈N*)．
（3）证明：b_n=

anan+1

4

=

1

(n+1)(n+2)

=

1

n+1

-

1

n+2

，
∴b₁+b₂+…+b_n=(

1

2

-

1

3

)+(

1

3

-

1

4

)+…+(

1

n+1

-

1

n+2

)=

1

2

-

1

n+2

＜

1

2

，
∴b₁+b₂+…+b_n＜

1

2

成立．

点评：本题考查了递推式的意义、猜想能力、“裂项求和”，考查了推理能力和计算能力，属于中档题．