Question

设函数．
（1）求f（x）的单调区间及最大值；
（2）讨论关于x的方程|lnx|=f（x）根的个数．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用导数的运算法则求出f^′（x），分别解出f^′（x）＞0与f^′（x）＜0即可得出单调区间及极值与最值；
（2）分类讨论：①当0＜x≤1时，令u（x）=-lnx--c，②当x≥1时，令v（x）=lnx-．利用导数分别求出c的取值范围，即可得出结论．
解答：解：（1）∵=，解f^′（x）＞0，得；解f^′（x）＜0，得．
∴函数f（x）的单调递增区间为；单调递减区间为．
故f（x）在x=取得最大值，且．
（2）函数y=|lnx|，当x＞0时的值域为[0，+∞）．如图所示：
①当0＜x≤1时，令u（x）=-lnx--c，
c==g（x），
则=．
令h（x）=e^2x+x-2x²，则h^′（x）=2e^2x+1-4x＞0，∴h（x）在x∈（0，1]单调递增，
∴1=h（0）＜h（x）≤h（1）=e²-1．
∴g^′（x）＜0，∴g（x）在x∈（0，1]单调递减．
∴c．
②当x≥1时，令v（x）=lnx-，得到c=lnx-=m（x），
则=＞0，
故m（x）在[1，+∞）上单调递增，∴c≥m（1）=．
综上①②可知：当时，方程|lnx|=f（x）无实数根；
当时，方程|lnx|=f（x）有一个实数根；
当时，方程|lnx|=f（x）有两个实数根．
点评：本题综合考查了利用导数研究函数的单调性、极值最值、数形结合的思想方法、分类讨论的思想方法等基础知识与基本技能，考查了推理能力和计算能力及其化归思想方法．