Question

设△ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且A=60°，c=3b，
（1）求

a

c

的值；
（2）求

sinB•sinC

sin2A

的值．

Answer 1

分析：（1）由A的度数求出cosA的值，由c=3b用c表示出b，然后利用余弦定理得到a²=b²+c²-2bccosA，将表示出的b及cosA的值代入，可得出a与c的关系式，变形后即可求出所求式子的值；
（2）利用正弦定理化简所求的式子后，将第一问表示出的b及a代入，化简后即可求出值．

解答：解：（1）∵A=60°，c=3b，
∴由余弦定理得：a²=b²+c²-2bccosA=（

1

3

c）²+c²-2•

1

3

c•c•

1

2

=

7

9

c²，
∴(

a

c

)2=

7

9

，
则

a

c

=

7

3

；
（2）∵b=

1

3

c，a=

7

3

c，
则由正弦定理

a

sinA

=

b

sinB

=

c

sinC

化简得：

sinBsinC

sin2A

=

bc

a2

=

1 3 c2

7 9 c2

=

3

7

．

点评：此题考查了正弦、余弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握定理是解本题的关键．