Question

直线l：

x=-1+2t y=4t

（t为参数），曲线C：ρ2=

2

2sin2θ+cos2θ

（Ⅰ）求曲线C的直角坐标方程；
（Ⅱ）求直线l被曲线C截得的弦长．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用极坐标与直角坐标的互化公式即可；
（Ⅱ）将直线的普通方程与椭圆的方程联立，再利用弦长公式即可．

解答：解：（Ⅰ）由曲线C：ρ2=

2

2sin2θ+cos2θ

，可化为2ρ²sin²θ+ρ²cos²θ=2，
化为直角坐标方程2y²+x²=2，即

x2

2

+y2=1；
（Ⅱ）由直线l：

x=-1+2t y=4t

（t为参数）消去参数t化为普通方程为2x-y+2=0
联立

2x-y+2=0 x2+2y2=2

消去y化为9x²+16x+6=0，
可知△＞0，
x1+x2=-

16

9

，x1x2=

6

9

，
∴直线l被曲线C截得的弦长=

(1+22)[(- 16 9 )2-4× 6 9 ]

=

10 2

9

．

点评：熟练掌握极坐标与直角坐标的互化公式及弦长公式是解题的关键．