Question

若函数f（x）=

2

2x+1

+m为奇函数，则实数m=

-1

．

Answer 1

分析：法一：根据基函数的定义f（-x）=-f（x）得  

2

2-x+1

+m= -

2

2x+1

-m，通过等式变形，通分等解得m=-1．
法二：用奇函数的定义证得在R上f（x）的图象必过原点（0，0），代入函数解之即可．

解答：解：法一：函数f（x）=

2

2x+1

+m为奇函数，
所以f（-x）=-f（x），即

2

2-x+1

+m= -

2

2x+1

-m
所以-2m=

2

2-x+1

+

2

2x+1

=

2×2x

2x+1

+

2

2x+1

=

2(2x+1)

2x+1

=2，
所以m=-1．
法二：函数f（x）为奇函数，所以f（-x）=-f（x），当x=0，得f（0）=0．
函数f（x）=

2

2x+1

+m的定义域为R，
所以f（0）=

2

20+1

+m=1+m=0，
所以m=-1．
故答案为：m=-1．

点评：本题重点考查
法一：奇函数的定义f（-x）=-f（x），用到了等式的变形，通分等．
法二：定义在R上的奇函数图象必过原点．做选择题或填空题选此法做题速度更快．