Question

（2012•丹东模拟）已知函数f（x）=x（x-m）（x-n）．
（I）当n=2时，若函数f（x）在[1，3]上单调递减，求实数m的取值范围；
（II）若m＞n＞0，m+n=2

2

，且过原点存在两条互相垂直的直线与曲线f（x）均相切，求m和n的值．

Answer 1

分析：（I）把n=2，代入函数f（x）并对其进行化简，利用导数研究函数的增减性；
（II）设出切点Q（x₀，y₀），根据导数与切线的关系，求出切线的方程，再根据直线垂直，斜率的关系，求出m和n；

解答：解：（I）当n=2时，f（x）=x（x-m）（x-2）=x³-（m+2）x²+2mx．则f′（x）=3x²-2（m+2）x+2m，
函数f（x）在[1，3]上单调递减，则有：

f′(1)=3-2(m+2)+2m≤0 f′(3)=27-6(m+2)+2m≤0

，
解得m≥

15

4

，故实数m的取值范围是[

15

4

，+∞）；
（II）设切点Q（x₀，y₀），y0=x03-2

2

x02+mnx0
则切线的斜率k=f′(x0)=3x02-4

2

x0+mn，
所以切线的方程是y-x03+2

2

x02-mnx02=[3x02-4

2

x0+mn](x-x0)，
又切线过原点，则-x03+2

2

x02-mnx02=-3x03+4

2

x02-mnx0，
∴2x03-2

2

x02=0，
解得x₀=0，或x0=

2

．
两条切线的斜率为k₁=f'（0）=mn，k2=f′(

2

)=mn-2
∵k₁k₂=-1，∴（mn）²-2mn=-1，∴mn=1，
由m＞n＞0，m+n=2

2

得m=

2

+1，m=

2

-1．

点评：考查学生会利用导数求曲线上过某点切线方程的斜率，会利用导数研究函数的单调区间以及过莫点切线的求法，此题是一道中档题，考查的知识点比较多；