Question

数列{a_n}满足：a₁=

1

4

，a₂=

1

5

，且a₁a₂+a₂a₃+…+a_na_n+1=na₁a_n+1对任何的正整数n都成立，则

1

a1

+

1

a2

+…+

1

a97

的值为（　　）

A．5032

B．5044

C．5048

D．5050

Answer 1

分析：a₁a₂+a₂a₃+…+a_na_n+1=na₁a_n+1，①；a₁a₂+a₂a₃+…+a_na_n+1+a_n+1a_n+2=（n+1）a₁a_n+2，②；①-②，得-a_n+1a_n+2=na₁a_n+1-（n+1）a₁a_n+2，

n+1

an+1

-

n

an+2

=4，同理，得

n

an

-

n-1

an+1

=4，整理，得

2

an+1

=

1

an

+

1

an+2

，{

1

an

}是等差数列．
由此能求出

1

a1

+

1

a2

+…+

1

a97

．

解答：解：a₁a₂+a₂a₃+…+a_na_n+1=na₁a_n+1，①
a₁a₂+a₂a₃+…+a_na_n+1+a_n+1a_n+2=（n+1）a₁a_n+2，②
①-②，得-a_n+1a_n+2=na₁a_n+1-（n+1）a₁a_n+2，
∴

n+1

an+1

-

n

an+2

=4，
同理，得

n

an

-

n-1

an+1

=4，
∴

n+1

an+1

-

n

an+2

=

n

an

-

n-1

an+1

，
整理，得

2

an+1

=

1

an

+

1

an+2

，
∴{

1

an

}是等差数列．
∵a₁=

1

4

，a₂=

1

5

，
∴等差数列{

1

an

}的首项是

1

a1

=4，公差d=

1

a2

-

1

a1

=5-4=1，

1

an

=4+(n-1)×1=n+3．
∴

1

a1

+

1

a2

+…+

1

a97

=97× 4+

97×96

2

×1=5044．
故选B．

点评：本题考查数列的综合应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化．