题目内容
函数f（x）=x3+ax与g（x）=2x2+b的图象有公共点（1，f（1）），且它们的图象在该点处的切线相同，记F（x）=f（x）-g（x）．
（1）求F（x）的表达式，并求F（x）在[0，1]上的值域；
（2）设t≤-1，函数G（x）=x3-3t2x-2t，x∈[0，1]，若对于任意x1∈[0，1]，总存在x0∈[0，1]，使得G（x0）=F（x1），求实数t的取值范围．
（1）求F（x）的表达式，并求F（x）在[0，1]上的值域；
（2）设t≤-1，函数G（x）=x3-3t2x-2t，x∈[0，1]，若对于任意x1∈[0，1]，总存在x0∈[0，1]，使得G（x0）=F（x1），求实数t的取值范围．
考点：利用导数研究曲线上某点切线方程,利用导数求闭区间上函数的最值
专题：导数的综合应用
分析：（1）求导函数，利用函数f（x）=x3+ax与g（x）=2x2+b的图象在x=1处有相同的切线，建立方程，即可求a，b的值；
（2）求出函数G（x）的导数，求出函数的单调性和值域，即可得到结论．
（2）求出函数G（x）的导数，求出函数的单调性和值域，即可得到结论．
解答：
解：（1）函数的导数为f′（x）=3x2+a，g′（x）=4x，
由条件知f（1）=g（1）且f′（1）=g′（1）
∴1+a=2+b且3+a=4，
∴a=1，b=0；
则f（x）=x3+x与g（x）=2x2，F（x）=f（x）-g（x）=x3-2x2+x，
由F′（x）=3x2-4x+1=3（x-1）（x-
）=0，得x=1或x=
，
则列表如下：
则函数的最大值为F（
）=
，最小值为F（0）=F（1）=0，
即函数的值域为[0，
]．
（2）G′（x）=3x2-3t2，
∵x∈[0，1]，t≤-1，
∴G′（x）≤0，即G（x）在[0，1]上单调递减，
则G（x）∈[G（1），G（0）]，
即G（x）∈[1-3t2-2t，-2t]，
以题意可得[0，
]⊆[1-3t2-2t，-2t]，
即
，解得t≤-1，
故实数t的取值范围是（-∞，-1]．
由条件知f（1）=g（1）且f′（1）=g′（1）
∴1+a=2+b且3+a=4，
∴a=1，b=0；
则f（x）=x3+x与g（x）=2x2，F（x）=f（x）-g（x）=x3-2x2+x，
由F′（x）=3x2-4x+1=3（x-1）（x-
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 3 |
则列表如下：
| x | 0 | （0，
|
| （
| 1 | ||||||
| F′（x） | + | 0 | - | ||||||||
| F（x） | 0 | 递增 | 极大值
| 递减 | 0 |
| 1 |
| 3 |
| 4 |
| 27 |
即函数的值域为[0，
| 4 |
| 27 |
（2）G′（x）=3x2-3t2，
∵x∈[0，1]，t≤-1，
∴G′（x）≤0，即G（x）在[0，1]上单调递减，
则G（x）∈[G（1），G（0）]，
即G（x）∈[1-3t2-2t，-2t]，
以题意可得[0，
| 4 |
| 27 |
即
|
故实数t的取值范围是（-∞，-1]．
点评：本题主要考查函数的值域的求解，求函数的导数，利用函数单调性，值域和导数的关系是解决本题的关键．考查学生的计算能力．
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