Question

设命题P：函数y=x^c-1在（0，+∞）上为减函数，命题Q：y=ln（2cx²+2x+1）的值域为R，命题T：函数y=ln（2cx²+2x+1）定义域为R，
（1）若命题T为真命题，求c的取值范围．
（2）若P或Q为真命题，P且Q为假命题，求c的取值范围．

Answer 1

分析：（1）若命题T为真命题，则2cx²+2x+1＞0恒成立，即可得到参数c的取值范围；
（2）分别求出命题为真命题时由于P或Q为真命题，P且Q为假命题，则P与Q中一个为真命题另一个为假命题，即分①P为真，Q为假与②P为假，Q为真两种情况讨论参数C的取值范围．

解答：解：（1）若命题T为真命题，则

c＞0 △=4-8c＜0

，解得c＞

1

2

．…（5分）
（2）若P为真，则c＜1；
若Q为真，则c=0，或者

c＞0 △=4-8c≥0

，解得0≤c≤

1

2

；
由题意知，命题P、Q中必有一个是真命题，另一个为假命题…（7分）
若P为真，Q为假时，则

c＜1 c＜0，或c＞ 1 2

，即c＜0或

1

2

＜c＜1；…（9分）
若P为假，Q为真时，则

c≥1 0≤c≤ 1 2

⇒c∈∅…（11分）
所以C的取值范围为(-∞，0)∪(

1

2

，1)…（12分）

点评：本题考查复合命题的真假判定，解决的办法是先判断组成复合命题的简单命题的真假．注意y=ln（2cx²+2x+1）的值域为R是真数能取遍（0，+∞）中所有实数；而函数y=ln（2cx²+2x+1）定义域为R是真数大于0恒成立．同时注意本题中不等式恒成立问题．