Question

18．O是锐角△ABC的外心，AO、BO、CO分别交对边于L、M、N，则$\frac{AO}{AL}$+$\frac{BO}{BM}$+$\frac{CO}{CN}$=2．

Answer 1

分析 作辅助线过O作OE⊥BC交BC于E，再过A作AF⊥BC交BC于F，可得△OEL∽△AFL，得出比例式OL：AL=OE：AF，由△OBC与△ABC是同底不等高的三角形，得出AO：AL=1-S_△OBC：S_△ABC，同理得出BO：BM=1-S_△OAC：S_△BAC，CO：CN=1-S_△OAB：S_△CAB，三式相加即可得$\frac{AO}{AL}$+$\frac{BO}{BM}$+$\frac{CO}{CN}$的值．

解答 解：如图，过O作OE⊥BC交BC于E，再过A作AF⊥BC交BC于F．
∵OE⊥BC，AF⊥BC，
∴OE∥AF，
∴△OEL∽△AFL，
∴OL：AL=OE：AF．
∵△OBC与△ABC是同底不等高的三角形，
∴OE：AF=S_△OBC：S_△ABC，
∴OL：AL=S_△OBC：S_△ABC，
∴1-OL：AL=1-S_△OBC：S_△ABC，
∴（AL-OL）：AL=1-S_△OBC：S_△ABC，
∴AO：AL=1-S_△OBC：S_△ABC，…①
同理，有：BO：BM=1-S_△OAC：S_△BAC，…②
CO：CN=1-S_△OAB：S_△CAB…③
①+②+③，得：
$\frac{AO}{AL}$+$\frac{BO}{BM}$+$\frac{CO}{CN}$=3-（S_△OBC+S_△OAC+S_△OAB）：S_△ABC
=3-1
=2．
故答案为：2．

点评 本题主要考查了三角形的五心中的外心，解题的关键是正确的正确的作出辅助线，利用同底不等高的三角形面积之比列出式子．