Question

已知，且，，求sin2α，cos2β，tan2β的值．

Answer 1

解：∵，∴＜α+β＜π，-＜α-β＜0，
∴cos（α+β）=-，sin（α-β）=-，tan（α+β）=-，tan（α-β）=-，
则sin2α=sin[（α+β）+（α-β）]
=sin（α+β）cos（α-β）+cos（α+β）sin（α-β）
=×+（-）×（-）
=；
cos2β=cos[（α+β）-（α-β）]
=cos（α+β）cos（α-β）+sin（α+β）sin（α-β）
=（-）×+×（-）
=-；
tan2β=tan[（α+β）-（α-β）]
=
=
=-．
分析：根据α和β的范围，分别求出α+β和α-β的范围，利用同角三角函数间的基本关系求出cos（α+β）和sin（α-β）的值，由2α=（α+β）+（α-β），利用两角和的正弦函数公式化简sin[（α+β）+（α-β）]，然后把相应的值代入可求出sin2α的值；由2β=（α+β）-（α-β），利用两角差的余弦函数公式及两角差的正切函数公式分别表示出cos[（α+β）-（α-β）]和tan[（α+β）-（α-β）]，把相应的值代入即可求出cos2β与tan2β的值．
点评：此题考查了两角和与差的正弦、余弦及正切函数公式，以及同角三角函数间的基本关系，灵活变换角度，熟练掌握公式是解本题的关键．