Question

9．设函数f（x）=4lnx+ax²+bx（a，b∈R），f'（x）是f（x）的导函数，且1和4分别是f（x）的两个极值点．
（1）求f（x）的解析式；
（2）若f（x）在区间（2m，m+1）上单调递减，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，由于1和4分别是f（x）的两个极值点，可得1和4分别是f′（x）=0的两根，解出即可得出．
（2）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的递减区间，根据集合的包含关系求出m的范围即可．

解答 解：（1）$f'（x）=\frac{4}{x}+2ax+b$=$\frac{{2a{x^2}+bx+4}}{x}$（x＞0），
 由题意可得：1和4别是f'（x）=0的两根，
即$1+4=-\frac{b}{2a}$，$1×4=\frac{4}{2a}$，解出：a=$\frac{1}{2}$，b=-5，
∴f（x）=4lnx+$\frac{1}{2}$x²-5x．　　　　　　　　　　　　　　　　
（2）由上得f′（x）=$\frac{4}{x}$+x-5=$\frac{（x-1）（x-4）}{x}$（x＞0），
由f′（x）＜0⇒1＜x＜4．
故f（x）的单调递减区间为（1，4），
∴$\left\{\begin{array}{l}2m≥1\\ 2m＜m+1\\ m+1≤4\end{array}\right.$，
解得：m的取值范围：$[{\frac{1}{2}，1}）$．

点评 本题考查了函数的单调性、极值点问题，考查导数的应用以及转化思想，是一道中档题．