Question

椭圆的离心率为，且过点（2，0）．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设直线l：y=x+m与椭圆C交于两点A，B，O为坐标原点，若△OAB为直角三角形，求m的值．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）根据离心率和（2，0）点代入椭圆方程进而可求得a和c，进而求得b，方程可得．
（2）把直线与椭圆联立，消去y，根据判别式大于0，进而可求得m的范围．设A，B两点的坐标分别为（x₁，y₁），（x₂，y₂），当∠AOB为直角时，根据，、求得m；当∠OAB或∠OBA为直角时，不妨设∠OAB为直角，由直线l的斜率为1，可得直线OA的斜率为-1，可得x₁和y₁的关系进而求得x₁和m．
解答：解：（Ⅰ）由已知，，
所以a=2，，
又a²=b²+c²，所以b=1，
所以椭圆C的方程为；．
（Ⅱ）联立，
消去y得5x²+8mx+4m²-4=0，△=64m²-80（m²-1）=-16m²+80，
令△＞0，即-16m²+80＞0，解得．
设A，B两点的坐标分别为（x₁，y₁），（x₂，y₂），
（ⅰ）当∠AOB为直角时，
则，
因为∠AOB为直角，所以，即x₁x₂+y₁y₂=0，
所以2x₁x₂+m（x₁+x₂）+m²=0，
所以，解得．
（ⅱ）当∠OAB或∠OBA为直角时，不妨设∠OAB为直角，
由直线l的斜率为1，可得直线OA的斜率为-1，
所以，即y₁=-x₁，
又；，
所以；，，，
经检验，所求m值均符合题意，综上，m的值为和．
点评：本题主要考查了椭圆的应用．考查了学生综合分析问题和解决问题的能力．