Question

【题目】根据条件，求下列曲线的方程．

（1）已知两定点,曲线上的点到距离之差的绝对值为，求曲线的方程；

（2）在 轴上的一个焦点与短轴两端点的连线互相垂直，且焦距为的椭圆的标准方程．

Answer 1

【答案】（1）双曲线的标准方程为；（2）.

【解析】试题分析：（1）根据双曲线的定义和条件可得，再求得，由两定点坐标得双曲线焦点在轴上，根据双曲线标准方程写出双曲线的方程； （2）因为焦距为，所以。在 轴上的一个焦点与短轴两端点的连线互相垂直，再由椭圆的对称性可得在 轴上的一个焦点与短轴两端点构成的三角形为等腰直角三角形，所以在 轴上的一个焦点与短轴的一个端点、原点构成的三角形也为直角三角形，所以。，因为焦点在轴上，所以椭圆的方程为。

试题解析：（1）由双曲线的定义可知，该曲线是焦点在双曲线，

设双曲线的标准方程为 ，根据已知得 即.

由求得.所以双曲线的标准方程为．

（2）设椭圆的标准方程为 ．

由已知得 ，所以 ．

故所求椭圆的标准方程为 ．