Question

【题目】已知函数，．

（Ⅰ）若函数在处的切线方程为，求的值；

（Ⅱ）当时，若不等式恒成立，求的取值范围；

（Ⅲ）当时，若方程在上总有两个不等的实根， 求的最小值．

Answer 1

【答案】（1），． （2） （3）

【解析】试题分析：（1）根据导数的几何意义得到参数值；（2）不等式恒成立，即，

等价于，令，对这个函数求导研究单调性求最值即可；（3）即，，令，对这个函数求导研究函数的单调性，求得函数的变化趋势，使得函数和x轴有两个不同的交点即可.

解析：（Ⅰ） ，．

（Ⅱ）当时，． （）．所以即.

又因为，所以等价于．

令，则.解，得；解，得；解，得．

所以在单调递增，在单调递减，所以，

故实数的取值范围是

（Ⅲ）当时，即，．

令，则.

方程在上总有两个不等的实根等价于

函数的图象与轴在上有两个不同的交点．

（ⅰ）当时，因为，所以，所以函数在单调递减，

从而函数在内的零点最多一个，不符合题意.

（ⅱ）当时，因为，

解，得；解，得；解，得.

所以函数在单调递减，在单调递增.

当时，在单调递减，函数在区间内的零点最多一个，不符

②当时，因为当趋于时，的值趋于正无穷大，

所以当且仅当时函数在有两个零点．

由得，即对恒成立. 等价于.

再令，则.

解得；解得；解得.

所以函数在单调递增，在单调递减.

所以，故的解为．

由得即对恒成立.所以，

所以的解为．所以的解为. 综合①②得.

综合（ⅰ）（ⅱ）得满足题意要求的实数的最小值为．