Question

【题目】如图，在三棱锥中，，为线段的中点，为线段上一点.

（1）求证：；

（2）求证：平面平面；

（3）当平面时，求三棱锥的体积.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）.

【解析】

分析：（1）因为所以平面，又因为平面，所以；（2）由等腰三角形的性质可得 ，由（1）知，，所以平面，从而平面平面；（3）先证明，结合（1）可得平面，从而可得三棱锥的体积为，进而可得结果.

详解：（1）因为PA⊥AB，PA⊥BC，所以PA⊥平面ABC.

又因为BD平面ABC，所以PA⊥BD.

（2）因为AB=BC，D为AC中点，所以BD⊥AC.

由（1）知，PA⊥BD，所以BD⊥平面PAC，

所以平面BDE⊥平面PAC.

（3）因为PA∥平面BDE，平面PAC平面BDE=DE，

所以PA∥DE.

因为D为AC的中点，所以DE=PA=l，BD=DC=.

由（1）知，PA⊥平面ABC，所以DE⊥平面ABC,

所以三棱锥E-BCD的体积V=BD·DC·DE=.