Question

11．已知|$\overrightarrow a|=1，|\overrightarrow b|=\sqrt{3}，\overrightarrow a+\overrightarrow b=（\sqrt{3}，1）$，则$\overrightarrow a+\overrightarrow b$与$\overrightarrow a-\overrightarrow b$的夹角为120°．

Answer 1

分析 由|$\overrightarrow a|=1，|\overrightarrow b|=\sqrt{3}，\overrightarrow a+\overrightarrow b=（\sqrt{3}，1）$，可得$|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}|$=2=$\sqrt{{\overrightarrow{a}}^{2}+{\overrightarrow{b}}^{2}+2\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}}$，化为$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=0．可得$|\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}|$=$\sqrt{{\overrightarrow{a}}^{2}+{\overrightarrow{b}}^{2}}$=2．利用向量夹角公式即可得出．

解答 解：∵|$\overrightarrow a|=1，|\overrightarrow b|=\sqrt{3}，\overrightarrow a+\overrightarrow b=（\sqrt{3}，1）$，
∴$|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}|$=$\sqrt{（\sqrt{3}）^{2}+1}$=2=$\sqrt{{\overrightarrow{a}}^{2}+{\overrightarrow{b}}^{2}+2\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}}$，
化为$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=0，
∴$|\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}|$=$\sqrt{{\overrightarrow{a}}^{2}+{\overrightarrow{b}}^{2}}$=2．
设$\overrightarrow a+\overrightarrow b$与$\overrightarrow a-\overrightarrow b$的夹角为θ，
则cosθ=$\frac{（\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}）•（\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}）}{|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}||\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}|}$=$\frac{{\overrightarrow{a}}^{2}-{\overrightarrow{b}}^{2}}{2×2}$=$\frac{1-3}{4}$=-$\frac{1}{2}$．
则$\overrightarrow a+\overrightarrow b$与$\overrightarrow a-\overrightarrow b$的夹角为120°．
故答案为：120°．

点评 本题考查了向量数量积运算性质、向量夹角公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．