Question

2．在△ABC中，a，b，c分别是角 A，B，C的对边，且bcosC+ccosB=2acosB．
（Ⅰ）求角B的大小；
（Ⅱ）若函数f（x）=sin（2x+B）+sin（2x-B）+2cos²x-1，x∈R．
（1）求函数f（x）的最小正周期；
（2）求函数f（x）在区间$[{-\frac{π}{4}，\frac{π}{4}}]$上的最大值和最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由三角函数恒等变换的应用化简已知等式可得sinA=2sinAcosB，又sinA≠0，可得$cosB=\frac{1}{2}$．从而可求B．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知$B=\frac{π}{3}$，化简函数解析式可得f（x）=$\sqrt{2}$sin（2x+$\frac{π}{4}$），利用周期公式可求f（x）的最小正周期，由$x∈[-\frac{π}{4}，\frac{π}{4}]$，利用正弦函数的图象和性质可求$sin（2x+\frac{π}{4}）∈[-\frac{{\sqrt{2}}}{2}，1]$，从而得解．

解答 （本题满分为12分）
解：（Ⅰ）由∵bcosC+ccosB=2acosB，
变为sinBcosC+sinCcosB=2sinAcosB，
即sinA=2sinAcosB．
∴$cosB=\frac{1}{2}$．∴$B=\frac{π}{3}$
（Ⅱ）由（Ⅰ）知$B=\frac{π}{3}$，
所以$f（x）=sin（2x+\frac{π}{3}）+sin（2x-\frac{π}{3}）+2co{s^2}x-1$=$sin2xcos\frac{π}{3}+cos2xsin\frac{π}{3}+sin2xcos\frac{π}{3}-cos2xsin\frac{π}{3}+cos2x$=$sin2x+cos2x=\sqrt{2}sin（2x+\frac{π}{4}）$…（7分）
（1）f（x）的最小正周期$T=\frac{2π}{2}=π$．…（8分）
（2）∵$x∈[-\frac{π}{4}，\frac{π}{4}]$，∴$2x∈[-\frac{π}{2}，\frac{π}{2}]，2x+\frac{π}{4}∈[-\frac{π}{4}，\frac{3π}{4}]$，$sin（2x+\frac{π}{4}）∈[-\frac{{\sqrt{2}}}{2}，1]$
所以，$f（x）=\sqrt{2}sin（2x+\frac{π}{4}）∈[-1，\sqrt{2}]$…（10分）
故$f{（x）_{max}}=\sqrt{2}，f{（x）_{min}}=-1$．…（12分）

点评 本题主要考查了正弦定理、三角函数恒等变换的应用，考查了正弦函数的图象和性质，属于基本知识的考查．