Question

已知椭圆的两个焦点分别为F₁（-1，0），F₂（1，0），点P在椭圆上，且满足|PF₁|=2|PF₂|，∠PF₁F₂=30°，直线y=kx+m与圆相切，与椭圆相交于A，B两点．
（I）求椭圆的方程；
（II）证明∠AOB为定值（O为坐标原点）．

Answer 1

解：（I）由题意，|PF₁|=2|PF₂|，∠PF₁F₂=30°，|F₁F₂|=2，
解三角形得，由椭圆定义得，
从而，又c=1，则，所以椭圆的方程为（6分）
（II）设交点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
联立消去得（2+3k²）x²+6kmx+3m²-6=0
由韦达定理得（9分）
又直线y=kx+m与圆相切，
则有（11分）
从而x₁x₂+y₁y₂=x₁x₂+（kx₁+m）（kx₂+m）=（k²+1）x₁x₂+km（x₁+x₂）+m²=（12分）•
所以，即∠AOB=90°为定值．（13分）
分析：（I）由题意，|PF₁|=2|PF₂|，∠PF₁F₂=30°，|F₁F₂|=2，解三角形得，由此能够导出椭圆的方程．
（II）设交点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），联立，消去得（2+3k²）x²+6kmx+3m²-6=0，由韦达定理得，又直线y=kx+m与圆相切，则有，由此能够求出∠AOB=90°为定值．
点评：本题考查直线与圆锥曲线的位置关系的综合运用，解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化．