题目内容

（1-x²）（x+ $数学公式$ ）⁶展开式中的常数项为

A.
5
B.
10
C.
15
D.
20

A
分析：将（1-x²）（x+ $\text{[math]}$ ）⁶展开得到（x+ $\text{[math]}$ ）⁶-x²（x+ $\text{[math]}$ ）⁶，将（1-x²）（x+ $\text{[math]}$ ）⁶展开式中的常数项转化为（x+ $\text{[math]}$ ）⁶的常数项减去（x+ $\text{[math]}$ ）⁶的含x^-2项的系数，利用二项展开式的通项公式求出（x+ $\text{[math]}$ ）⁶的常数项和（x+ $\text{[math]}$ ）⁶的含x^-2项的系数，进一步求出（1-x²）（x+ $\text{[math]}$ ）⁶展开式中的常数项．
解答：因为（1-x²）（x+ $\text{[math]}$ ）⁶=（x+ $\text{[math]}$ ）⁶-x²（x+ $\text{[math]}$ ）⁶所以（1-x²）（x+ $\text{[math]}$ ）⁶展开式中的常数项为
（x+ $\text{[math]}$ ）⁶的常数项减去（x+ $\text{[math]}$ ）⁶的含x^-2项的系数，
（x+ $\text{[math]}$ ）⁶的展开式的通项为 $\text{[math]}$
令6-2r=0得r=3，所以（x+ $\text{[math]}$ ）⁶的常数项为 $\text{[math]}$ ，
令6-2r=-2得r=4所以（x+ $\text{[math]}$ ）⁶的含x^-2项的系数为 $\text{[math]}$ ，
所以（1-x²）（x+ $\text{[math]}$ ）⁶展开式中的常数项为20-15=5．
故选A．
点评：本题考查等价转化的能力、考查利用二项展开式的通项公式解决二项展开式的特殊项问题，属于中档题．