Question

19．在平面直角坐标系xoy中，椭圆$C：\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$的离心率为$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，直线y=x被椭圆C截得的弦长为$\frac{{4\sqrt{10}}}{5}$．
（1）求椭圆C的方程；
（2）过原点的直线与椭圆C交于A，B两点（A，B不是椭圆$\frac{π}{2}$的顶点）．点D在椭圆C上，且AD⊥AB，直线BD与x轴、y轴分别交于M，N两点．求△OMN面积的最大值．

Answer 1

分析 （1）由椭圆离心率可得a，b的关系，联立直线方程和椭圆方程，结合直线y=x被椭圆C截得的弦长为$\frac{{4\sqrt{10}}}{5}$求得a，b的值，则椭圆方程可求；
（2）设A（x₁，y₁），D（x₂，y₂），则B（-x₁，-y₁），可得${k_{AD}}=-\frac{x_1}{y_1}$，设直线AD的方程为y=kx+m，联立$\left\{\begin{array}{l}y=kx+m\\ \frac{x^2}{4}+{y^2}=1\end{array}\right.$，消去y得（1+4k²）x²+8kmx+4m²-4=0．求出BD所在直线的斜率，得到BD的方程，分别求出M，N的坐标，代入三角形面积公式，利用基本不等式求得最值．

解答 解：（1）由题意知，$\frac{c}{a}=\frac{{\sqrt{{a^2}-{b^2}}}}{a}=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，可得a²=4b²，
联立$\left\{\begin{array}{l}{x^2}+4{y^2}={a^2}\\ y=x\end{array}\right.$，得$x=±\frac{{\sqrt{5}}}{5}a$，
∴$|{AB}|=\sqrt{1+1}\frac{{2\sqrt{5}a}}{5}=\frac{{4\sqrt{10}}}{5}$，解得a=2．
∴椭圆方程为$\frac{x^2}{4}+{y^2}=1$；
（2）设A（x₁，y₁），D（x₂，y₂），则B（-x₁，-y₁），
∴${k_{AB}}=\frac{y_1}{x_1}$，且AB⊥AD，则${k_{AD}}=-\frac{x_1}{y_1}$，
设直线AD的方程为y=kx+m，由题意知k≠0，m≠0，
联立$\left\{\begin{array}{l}y=kx+m\\ \frac{x^2}{4}+{y^2}=1\end{array}\right.$，消去y得（1+4k²）x²+8kmx+4m²-4=0．
∴${x_1}+{x_2}=-\frac{8mk}{{1+4{k^2}}}$，${y_1}+{y_2}=k（{x_1}+{x_2}）+2m=\frac{2m}{{1+4{k^2}}}$，
∴${k_{BD}}=\frac{{{y_1}+{y_2}}}{{{x_1}+{x_2}}}=-\frac{1}{4k}=\frac{y_1}{{4{x_1}}}$，
∴直线BD的方程为$y+{y_1}=\frac{y_1}{{4{x_1}}}（x+{x_1}）$，
令y=0，得x=3x₁，即M（3x₁，0）．
令x=0，得$y=-\frac{3}{4}{y_1}$，即M（3x₁，0）．
∴${S_{△OMN}}=\frac{1}{2}×3|{x_1}|×\frac{3}{4}|{y_1}|=\frac{9}{8}|{x_1}||{y_1}|$．
又∵$|{x_1}||{y_1}|≤\frac{{{x_1}^2}}{4}+{y_1}^2=1$，当且仅当$\frac{{|{x_1}|}}{2}=|{y_1}|=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$时，等号成立．
∴△OMN面积的最大值为$\frac{9}{8}$．

点评 本题考查椭圆的简单性质，考查了直线与椭圆位置关系的应用，训练了利用基本不等式求最值，体现了“设而不求”的解题思想方法，是中档题．