Question

（本小题满分14分）已知.
（1）若，函数在其定义域内是增函数，求的取值范围.
（2）在（1）的结论下，设，求函数的最小值；
（3）若的图象与轴交于，中点为，求证：.

Answer 1

（1）（2）同解析（3）同解析

（1）依题意：
∵在递增
∴对恒成立   ………………1分
∴  …………………2分
∵
∴ ………………3分
当且仅当时取“”，
∴， …………………4分
且当时，，
，
∴符合在是增函数
∴
(2)设,∵
∴， 则函数化为:
，  …………………6分
当时,即时.在递增
∴当时,
②当时,即,当
③当,即时,在递减,当时,
综上:    …………………9分
(3)依题意:，假设结论不成立，
则有  ……………②
由①②得：  ④  ………………10分
由③知代入④
得
∴ 即  …………………11分
令 则   …………⑤  ……………………12分
令 
∵ ∴在递增    …………………13分
∴ 即  
与⑤式矛盾
∴假设不成立
∴  ………………………14分