Question

13．如图，四边形ABCD是正方形，平面ABCD⊥平面ABEF，AF∥BE，AB⊥BE，AB=BE=2，AF=1．
（Ⅰ）求证：AC∥平面DEF；
（Ⅱ） 求证：平面BDE⊥平面DEF；
（Ⅲ）求直线BF和平面DEF所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （I）取DE的中点G，连结OG，FG，通过证明四边形OAFG是平行四边形得出AO∥FG，从而得出AC∥平面DEF；
（II）通过证明AC⊥平面BDE得FG⊥平面BDE，从而得出平面BDE⊥平面DEF；
（III）作BH⊥DE，垂足为H，连结FH，则∠BFH为是直线BF与平面DEF所成的角，利用勾股定理计算BF，BD，DE得出BH，从而可得sin∠BFH．

解答 证明：（Ⅰ）连接AC，BD交点为O，取DE的中点G，连结OG，FG，
∵四边形ABCD为正形，∴O为BD中点．
∴OG∥BE，且OG=$\frac{1}{2}$BE．
又∵AF∥BE，AF=$\frac{1}{2}$BE，
∴AF∥OG，AF=OG，
∴四边形OAFG为平行四边形，
∴AO∥FG，即AC∥FG．
又AC?平面DEF，FG?平面DEF，
∴AC∥平面DEF．
（Ⅱ）∵平面ABCD⊥平面ABEF，平面ABCD∩平面ABEF=AB，AB⊥BE，
∴BE⊥平面ABCD．
∵AC?平面ABCD，∴BE⊥AC．
又四边形ABCD为正方形，∴AC⊥BD．
又BD∩BE=B，BD?平面BDE，BE?平面BDE，
∴AC⊥平面BDE．
由（Ⅰ）可知AC∥FG，∴FG⊥平面BDE，
又FG?平面DEF，
∴平面BDE⊥平面DEF，
（Ⅲ）作BH⊥DE，垂足为H，连结FH，
∵平面BDE⊥平面DEF，平面BDE∩平面DEF=DE，
∴BH⊥平面DEF．
∴∠BFH为是直线BF与平面DEF所成的角．
∵四边形ABCD是正方形，AB=BE=2，AF=1，
∴BD=2$\sqrt{2}$，DE=$\sqrt{B{E}^{2}+B{D}^{2}}$=2$\sqrt{3}$，BF=$\sqrt{A{F}^{2}+A{B}^{2}}$=$\sqrt{5}$，
∴BH=$\frac{BE•BD}{DE}$=$\frac{4\sqrt{2}}{2\sqrt{3}}$=$\frac{2\sqrt{6}}{3}$，
∴sin∠BFH=$\frac{BH}{BF}$=$\frac{2\sqrt{30}}{15}$，
∴直线BF和平面DEF所成角的正弦值为$\frac{2\sqrt{30}}{15}$．

点评 本题考查了线面平行的判定，面面垂直的判定，线面角的计算，熟练掌握各位置关系的判定定理是证明的依据，属于中档题．