Question

已知1，3，6，…的各项是一个等比数列和一个等差数列对应项相加而得到的，其中等差数列的首项为0．

（Ⅰ）分别求出等差数列和等比数列的通项公式；

（Ⅱ）若数列1，3，6，…的前项和为，求证．

Answer 1

解：（Ⅰ）记{a_n}为等差数列，公差为d，{b_n}为等比数列，公比为q．

∵                  

∴

∴q²-2q=0    解得q=0（舍）或q=2                   

∴q=2，d=1

∴，         

（Ⅱ） ∵S_n=（a₁+b₁）+（a₂+b₂）+…+（a_n+b_n） 

        ＝（a₁+a₂+…+a_n）＋（b₁+b₂+…+b_n）

        =[0+1+…+（n-1）]+（1+2+…+2^n-1）

＝

        ＝                    

设，则

∴当时，

∴在上是减函数

∴当时，，即      

∴