题目内容
已知函数f对任意实数x满足f(x+4)+f(x-4)＝f(x)．所有这样的函数f均为周期函数，且它们有一个最小的公共周期p，p是
- A.8
- B.12
- C.16
- D.24
D
由题设
f(x+4)+f(x-4)＝f(x)． ①
用x+4代x，得
f(x+8)+f(x)＝f(x+4)． ②
①+②，得
f(x-4)＝-f(x+8)．
∴
f(x+24)＝f[(x+12)+12]＝f(x+12)
＝f(x)
故f(x)的最小公共周期p≤24．
另一方面，f(x)＝满足条件，而且周期为24，所以p≥24，一是p＝24．
由题设
f(x+4)+f(x-4)＝f(x)． ①
用x+4代x，得
f(x+8)+f(x)＝f(x+4)． ②
①+②，得
f(x-4)＝-f(x+8)．
∴
f(x+24)＝f[(x+12)+12]＝f(x+12)
＝f(x)
故f(x)的最小公共周期p≤24．
另一方面，f(x)＝满足条件，而且周期为24，所以p≥24，一是p＝24．
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