Question

已知函数f（x）=x³-

3

4

(a+4)x2+

3

2

(a+2)x，a∈R．
（Ⅰ）当a=2时，求f（x）的单调区间；
（Ⅱ）是否存在实数a∈（0，2]，使得对任意的x∈[0，a]，不等式0≤f（x）≤a恒成立？若存在，求出所有a的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（I）将a=2代入，求出函数的导函数，根据二次函数的图象和性质求出f′（x）＞0时和f′（x）＜0时的x的取值范围，进而得到f（x）的单调区间；
（Ⅱ）求出函数的导函数，根据二次函数的图象和性质求出f′（x）＞0时和f′（x）＜0时的x的取值范围，进而得到f（x）的单调区间；若对任意的x∈[0，a]，不等式0≤f（x）≤a恒成立，则f（x）的最小值大于等于0，最大值小于等于a，分类讨论后综合讨论结果可得答案．

解答：解：（Ⅰ）当a=2时，f（x）=x³-

9

2

x2+6x，
∴f′（x）=3x²-9x+6．…（2分）
令f′（x）=0，则x=1或x=2，
当f′（x）＞0时，x＜1，或x＞2； 当f′（x）＜0时，1＜x＜2，
所以f（x）的单调递增区间是（-∞，1），（2，+∞），单调递减区间是（1，2）．        …（6分）
（Ⅱ）∵f（x）=x³-

3

4

(a+4)x2+

3

2

(a+2)x，
∴f′（x）=3x²-

3

2

(a+4)x +

3

2

(a+2)．
f′（x）=0，则x=1或x=

a

2

+1（a∈（0，2]），
当f′（x）＞0时，x＜1，或x＞

a

2

+1；当f′（x）＜0时，1＜x＜

a

2

+1，
所以f（x）的单调递增区间是（-∞，1），（

a

2

+1，+∞），单调递减区间是（1，

a

2

+1）．  …（9分）
因为f（0）=0，下面分类讨论研究当x∈[0，a]时，f（x）最大值与最小值：
（1）当0＜a≤1时，f（x）在[0，a]上单调递增，
即f（x）的最小值为f（0）=0，最大值为f（a），
只要f（a）≤a成立即可，解得2≤a≤4，所以a不存在．   …（12分）
（2）当1＜a≤2时，即1＜a＜

a

2

+1，f（x）在[0，1]上单调递增，在（1，a） 单调递减，
即f（x）的最小值为f（0）=0或f（a），最大值为f（1），
只要

f(a)≥0 f(1)≤a

，解得a≥4，所以a也不存在．
综上所述，满足条件的实数a不存在．                         …（15分）

点评：本题主要考查利用导数研究函数的单调性等性质及导数应用等基础知识，同时考查推理论证能力．熟练掌握导数在研究函数单调性和极值时的方法和步骤是解答的关键．