Question

已知函数f（x）=|x-m|和函数g（x）=x|x-m|+m²-7m．
（1）若方程f（x）=|m|在[-4，+∞）上有两个不同的解，求实数m的取值范围；
（2）若对任意x₁∈（-∞，4]，均存在x₂∈[3，+∞），使得f（x₁）＞g（x₂）成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析：（1）解方程f（x）=|m|，解得x=0，或x=2m．由题意可得 2m≥-4，且2m≠0，由此求得实数m的取值范围．
（2）命题等价于任意x₁∈（-∞，4]，任意的x₂∈[3，+∞），f_min（x₁）＞g_min（x₂） 成立，分m＜3、
3≤m＜4、4≤m三种情况，分别求出实数m的取值范围再取并集，即得所求．

解答：解：（1）方程f（x）=|m|，即|x-m|=|m|，解得x=0，或x=2m．
要使方程|x-m|=|m|在[-4，+∞）上有两个不同的解，
需 2m≥-4，且2m≠0．解得 m≥-2 且m≠0．
故实数m的取值范围为[-2，0）∪（0，+∞）．
（2）由于对任意x₁∈（-∞，4]，都存在x₂∈[3，+∞），使f（x₁）＞g（x₂）成立，
故有 f_min（x₁）＞g_min（x₂）  成立．
又函数f（x）=|x-m|=

x-m ， x≥m m-x ， x＜m

，故f_min（x₁）=

0 ， m≤4 f(4) =m-4， m＞4

．
又函数g（x）=x|x-m|+m²-7m=

x(m-x)+m 2-7m ，x＜m x(x-m)+m 2-7m ， x≥m

，
故g_min（x₂）=

g(3) =m2-10m+9  ， m＜3 g(m) = m2-7m  ，  m≥3

．
当m＜3时，有0＞m²-10m+9，解得 1＜m＜3．
当 3≤m＜4，有0＞m²-7m，解得 3≤m＜4．
当4≤m，有m-4＞m²-7m，解得 4≤m＜4+2

3

．
综上可得，1＜m＜4+2

3

，故实数m的取值范围为（1，4+2

3

 ）．

点评：本题主要考查带有绝对值的函数，方程根的存在性及个数判断，函数最值及其几何意义，属于中档题．