Question

11．设函数f（x）=$\frac{201{5}^{x}}{201{5}^{x}+\sqrt{2015}}$．
（1）求f（a）+f（1-a）的值；
（2）求f（$\frac{1}{2015}$）+f（$\frac{2}{2015}$）+f（$\frac{3}{2015}$）+…+f（$\frac{2014}{2015}$）的值．

Answer 1

分析 （1）由已知得f（a）+f（1-a）=$\frac{201{5}^{a}}{201{5}^{a}+\sqrt{2015}}$+$\frac{201{5}^{1-a}}{201{5}^{1-a}+\sqrt{2015}}$，由此能求出结果．
（2）由f（a）+f（1-a）=1，能求出f（$\frac{1}{2015}$）+f（$\frac{2}{2015}$）+f（$\frac{3}{2015}$）+…+f（$\frac{2014}{2015}$）的值．

解答 解：（1）∵f（x）=$\frac{201{5}^{x}}{201{5}^{x}+\sqrt{2015}}$，
∴f（a）+f（1-a）=$\frac{201{5}^{a}}{201{5}^{a}+\sqrt{2015}}$+$\frac{201{5}^{1-a}}{201{5}^{1-a}+\sqrt{2015}}$
=$\frac{201{5}^{a}}{201{5}^{a}+\sqrt{2015}}$+$\frac{2015}{2015+2015{\;}^{a+\frac{1}{2}}}$
=$\frac{201{5}^{a}}{201{5}^{a}+\sqrt{2015}}$+$\frac{\sqrt{2015}}{\sqrt{2015}+201{5}^{a}}$
=1．
（2）∵f（a）+f（1-a）=1，
∴f（$\frac{1}{2015}$）+f（$\frac{2}{2015}$）+f（$\frac{3}{2015}$）+…+f（$\frac{2014}{2015}$）
=1007×1
=1007．

点评 本题考查函数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，正确解题的关键是推导出f（a）+f（1-a）=1．