Question

在直三棱柱中，，，异面直线与所成的角等于，设．

(1)求的值；
(2)求平面与平面所成的锐二面角的大小．

Answer 1

(1); (2).

试题分析：由于是直三棱柱,且底面是直角三角形,便于建立空间直角坐标系.
建立适当的空间直角坐标系,利用向量的夹角公式列方程,求出的值.
在(1)的基础上,确定的坐标,设出平面的法向量与平面的法向量,
根据向量垂直的条件求出法向量,最后用向量的夹角公式求出,这就是所求锐二面角的余弦值.
试题解析：(1)建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，（）                                  1分

∴， ∴       3分
∵异面直线与所成的角
∴ 即               5分
又，所以                                    6分
(2)设平面的一个法向量为，则
，，即且
又，
∴，不妨取                          8分
同理得平面的一个法向量                10分
设与的夹角为，则      12分
∴                                           13分
∴平面与平面所成的锐二面角的大小为    14分