Question

如图，△ACD是等边三角形，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，BD交AC于E，AB=2，则AE=

 

．

Answer 1

分析：由条件求得∠BCD=150°，又△BCD为等腰三角形，可得∠CBE=15°，故∠ABE=30°，可得∠AEB=105°．计算sin105°
=sin（60°+45°）=

6 + 2

4

，代入正弦定理

AE

sin30°

=

AB

sin105°

，花简求得AE=

6

-

2

．

解答：解：由题意可得，AC=BC=CD=DA=

2

，∠BAC=45°，∠BCD=∠ACB+∠ACD=90°+60°=150°．
又△BCD为等腰三角形，∴∠CBE=15°，故∠ABE=45°-15°=30°，故∠BEC=75°，∠AEB=105°．
再由 sin105°=sin（60°+45°）=sin60°cos45°+cos60°sin45°=

6 + 2

4

，
△ABE中，由正弦定理可得

AE

sin30°

=

AB

sin105°

，
∴

AE

1 2

=

2

6 + 2 4

，∴AE=

6

-

2

），
故答案为

6

-

2

．

点评：本题考查勾股定理、正弦定理的应用，两角和的正弦公式，属于中档题．