Question

椭圆C：的离心率为，且过（2，0）点．
（1）求椭圆C的方程；
（2）当直线l：y=x+m与椭圆C相交时，求m的取值范围；
（3）设直线l：y=x+m与椭圆C交于A，B两点，O为坐标原点，若，求m的值．

Answer 1

解：（1）因为
所以，
又a²=b²+c²，所以b=1，
所以椭圆C的方程为．
（2）联立，消去y得5x²+8mx+4m²﹣4=0，
△=64m²﹣80（m²﹣1）=﹣16m²+80，
令△＞0，即﹣16m²+80＞0，解得．
（3）设A，B两点的坐标分别为（x₁，y₁），（x₂，y₂），
由（2）得，
又因为，所以∠AOB为直角，即x₁x₂+y₁y₂=0，
所以，
即，
解得；