题目内容
已知椭圆C:
，的离心率为
，A,B分别为椭圆的长轴和短轴的端点，M为AB的中点，O为坐标原点，且
.
（1）求椭圆的方程；
（2）过（-1,0）的直线l与椭圆交于P、Q两点，求
POQ的面积的最大时直线l的方程。
（Ⅰ）
. （Ⅱ）当直线
的方程为
时，
面积最大.
【解析】本试题主要是考查而来椭圆的方程的求解，以及直线与椭圆的位置关系的综合运用。
（1）由于根据题目中的椭圆的性质，可知系数a,b,c的关系式，进而求解得到方程。
（2）设出直线方程与椭圆方程联立方程组，借助于韦达定理，来求解点到直线的距离，来表示三角形的面积，进而得到最值。
解：（Ⅰ）设椭圆的半焦距为
，则
，解得
，所以椭圆的方程为.
-----------------4分
（Ⅱ）方法一：设交点
，
，
当直线的斜率不存在时，直线的方程为，
则易得
.
--------------6分
当直线的斜率存在时，设其方程为
（
），联立椭圆方程，得
，两个根为
恒成立，
，
-----------7分
则
，
又原点到直线的距离
=
，
--------------8分
所以
--------------11分
所以，当直线的方程为时，面积最大.
--------------12分
方法二：设交点，，
当直线的斜率不存在时，直线的方程为，
则易得.
----------6分
当直线的斜率存在时，设其方程为（），联立椭圆方程，得
，两个根为
，
恒成立，
，
-----------7分
---------------8分
=
--------------11分
所以，当直线的方程为时，面积最大.
-----------12分
+
=1，（a＞b＞0）与双曲4x2-
y2=1有相同的焦点，且椭C的离心e=
，又A，B为椭圆的左右顶点，M为椭圆上任一点（异于A，B）．
+
=1，（a＞b＞0）与双曲4x2-
y2=1有相同的焦点，且椭C的离心e=
，又A，B为椭圆的左右顶点，M为椭圆上任一点（异于A，B）．
+
=1，（a＞b＞0）与双曲4x2-
y2=1有相同的焦点，且椭C的离心e=
，又A，B为椭圆的左右顶点，M为椭圆上任一点（异于A，B）．
+
=1，（a＞b＞0）与双曲4x2-
y2=1有相同的焦点，且椭C的离心e=
，又A，B为椭圆的左右顶点，M为椭圆上任一点（异于A，B）．