题目内容

已知向量 $数学公式$ ， $数学公式$ 其中0＜φ＜π，函数 $数学公式$ 的一个零点是 $数学公式$ ．
（1）求φ的值；
（2）将函数y=f（x）的图象上各点的横坐标缩短到原来的 $数学公式$ ，纵坐标不变，得到函数y=g（x）的图象，求函数g（x）在 $数学公式$ 上的最大值和最小值．

解：（1）∵向量 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$
∴函数 $\text{[math]}$ =sin2xsinφ+2cos²xcosφ-1-cosφ
=sin2xsinφ+cos2xcosφ-1=sin（2x+φ）-1
∵函数 $\text{[math]}$ 的一个零点是 $\text{[math]}$ ．
∴sin（2× $\text{[math]}$ +φ）-1=0，
∴φ= $\text{[math]}$
（2）由上一问可以得到f（x）=sin（2x+ $\text{[math]}$ ）-1
将函数y=f（x）的图象上各点的横坐标缩短到原来的 $\text{[math]}$ ，纵坐标不变，得到函数y=g（x）的图象
∴g（x）=sin（4x+ $\text{[math]}$ ）-1
∵ $\text{[math]}$ ，
∴4x+ $\text{[math]}$ $\text{[math]}$
∴g（x）的值域是[ $\text{[math]}$ ]
即函数的最大值是- $\text{[math]}$ ，最小值是- $\text{[math]}$
分析：（1）根据所给的向量的坐标和函数式，写出f（x）的表达式，根据函数有一个零点，把x的值代入求出φ．也得到了函数的解析式．
（2）根据上一问所得的函数解析式，写出经过平移以后的解析式，根据所给的函数的自变量的取值，做出函数的值域，写出函数的最大值和最小值．
点评：本题考查确定函数的解析式，本题解题的关键是对所给的函数式的整理，这是后面能够做对题目的关键之处，本题是一个综合题目．