Question

已知向量

m1

=（0，x），

n1

=（1，1），

m2

=（x，0），

n2

=（y²，1）（其中x，y是实数），又设向量

m

=

m1

+ 

2

n2

，

n

=

m2

-

2

n1

，且

m

∥

n

，点P（x，y）的轨迹为曲线C．
（1）求曲线C的方程；
（2）设曲线C与y轴的正半轴的交点为M，过点M作一条直线l与曲线C交于另一点N，当|MN|=

4

3

2

时，求直线 l 的方程．

Answer 1

分析：（1）由已知

m

=(0，x)+(

2

y2，

2

)   =(

2

y2，x+

2

)，

n

=(x，0)-(

2

，

2

)  =(x-

2

，-

2

)，由

m

∥

n

，能导出所求曲线C的方程．
（2）由点M（0，1），知直线l与x轴不垂直．设直线l的方程为y=kx+1，设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），由

x2 2 +y2=1 y=kx+1

，得（1+2k²）x²+4kx=0，由此能得到所求直线的方程．

解答：解：（1）由已知

m

=(0，x)+(

2

y2，

2

)   =(

2

y2，x+

2

)

n

=(x，0)-(

2

，

2

)  =(x-

2

，-

2

)，（2分）
∵

m

∥

n

，∴

2

y2(-

2

) -(x+

2

) (x-

2

) =0（4分）
即所求曲线C的方程是：

x2

2

+y2=1（6分）
（2）由（1）求得点M（0，1）．显然直线l与x轴不垂直．
故可设直线l的方程为y=kx+1，设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）（8分）
由

x2 2 +y2=1 y=kx+1

，消去y得：（1+2k²）x²+4kx=0，解得x1=0，x2=

-4k

1+2k2

．（10分）
由|MN|=

1+k2

|

4k

1+2k2

| =

4 2

3

，解得：k=±1（12分）
∴所求直线的方程为x-y+1-0或x+y-1=0．（14分）

点评：本题考查直线方程和曲线方程的求法，解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化．