Question

过P（0，1）的直线与圆C：x²+y²-2x-3=0相交A，B两点，则△ABC面积最大时的直线AB的方程是

 

．

Answer 1

分析：将圆方程变形为标准形式，找出圆心C坐标与半径r，分两种情况：当直线AB斜率不存在时，求出此时三角形ABC面积；当直线AB斜率存在时，设为k，表示出直线AB方程，利用点到直线的距离公式表示出圆心C到直线AB的距离d，利用垂径定理表示出弦长，利用三角形面积公式表示出面积，利用基本不等式求出面积最大时d的值，确定出k的值，即可求出此时直线AB的方程，综上，即可得到△ABC面积最大时的直线AB的方程．

解答：解：将圆方程变形得：（x-1）²+y²=4，即圆心C（1，0），半径r=2，
当直线AB的斜率不存在时，△ABC面积为

3

，此时直线AB方程为x=0；
当直线AB斜率存在时，设为k，直线AB方程为y-1=kx，即kx-y+1=0，
圆心C到直线AB的距离d=

|k+1|

k2+1

，线段|AB|=2

r2-d2

=2

4-d2

，
∴S_△ABC=

1

2

•|AB|•d=

1

2

×2

4-d2

×d=

d2(4-d2)

≤

d2+4-d2

2

=2，
当且仅当d²=4-d²时取等号，即d=

|k+1|

k2+1

=

2

，解得：k=1，
综上，三角形面积最大值为2，△ABC面积最大时的直线AB的方程是x-y+1=0．
故答案为：x-y+1=0

点评：此题考查了直线与圆的位置关系，以及直线的一般式方程，涉及的知识有：圆的标准方程，点到直线的距离公式，垂径定理，勾股定理，基本不等式的应用，是一道综合性较强的试题，熟练掌握公式及定理是解本题的关键．