题目内容
在直角坐标平面中，△ABC的两个顶点A，B的坐标分别为A(-
，0)，B(
，0)，两动点M，N满足
+
+
=
，|
|=
|
|=
|
|，向量
与
共线．
（1）求△ABC的顶点C的轨迹方程；
（2）若过点P（0，1）的直线与（1）轨迹相交于E，F两点，求
•
的取值范围．
| ||
| 7 |
| ||
| 7 |
| MA |
| MB |
| MC |
| 0 |
| NC |
| 7 |
| NA |
| 7 |
| NB |
| MN |
| AB |
（1）求△ABC的顶点C的轨迹方程；
（2）若过点P（0，1）的直线与（1）轨迹相交于E，F两点，求
| PE |
| PF |
分析：（1）设（x，y），由
+
+
=0，知M（
，
）．由|
|=|
|且向量
与
共线，知N在边AB的中垂线上，由此能求出△ABC的顶点C的轨迹方程．
（2）设E（x1，y1），F（x2，y2），过点P（0，1）的直线方程为y=kx+1，代入x2-
=1，得 （3-k2）x2-2kx-4=0（x≠±1）．再由根的判别式和韦达定理能求出
•
的取值范围．
| MA |
| MB |
| MC |
| x |
| 3 |
| y |
| 3 |
| NA |
| NB |
| MN |
| AB |
（2）设E（x1，y1），F（x2，y2），过点P（0，1）的直线方程为y=kx+1，代入x2-
| y2 |
| 3 |
| PE |
| PF |
解答：解：（1）设（x，y），
∵
+
+
=0，
∴M（
，
）．
又|
|=|
|且向量
与
共线，
∴N在边AB的中垂线上，
∴N（0，
）．
而|
|=
|
|，
∴x2-
=1（y≠0）．------（6分）
（2）设E（x1，y1），F（x2，y2），
过点P（0，1）的直线方程为y=kx+1，
代入x2-
=1
得 （3-k2）x2-2kx-4=0（x≠±1）
∴△=4k2+16（3-k2）＞0，
k2＜4k∈(-2，2)(k≠±
，±1)．------------------------------（4分）
而x1，x2是方程的两根，
∴x1+x2=
，x1x2=
．
∴
•
=（x1，y1-1）•（x2，y2-1）
=x1x2+kx1•kx2
=
--------（2分）
即
•
=4（1+
） ∈(-∞，-4)∪(-4，-
]∪(20，+∞)
故
•
的取值范围为(-∞，-4)∪(-4，-
]∪(20，+∞)---------------（4分）
∵
| MA |
| MB |
| MC |
∴M（
| x |
| 3 |
| y |
| 3 |
又|
| NA |
| NB |
| MN |
| AB |
∴N在边AB的中垂线上，
∴N（0，
| y |
| 3 |
而|
| NC |
| 7 |
| NA |
∴x2-
| y2 |
| 3 |
（2）设E（x1，y1），F（x2，y2），
过点P（0，1）的直线方程为y=kx+1，
代入x2-
| y2 |
| 3 |
得 （3-k2）x2-2kx-4=0（x≠±1）
∴△=4k2+16（3-k2）＞0，
k2＜4k∈(-2，2)(k≠±
| 3 |
而x1，x2是方程的两根，
∴x1+x2=
| 2k |
| 3-k2 |
| -4 |
| 3-k2 |
∴
| PE |
| PF |
=x1x2+kx1•kx2
=
| -4(1+k2) |
| 3-k2 |
即
| PE |
| PF |
| 4 |
| k2-3 |
| 4 |
| 3 |
故
| PE |
| PF |
| 4 |
| 3 |
点评：本题主要考查直线与圆锥曲线的综合应用能力，具体涉及到轨迹方程的求法及直线与椭圆的相关知识，解题时要注意合理地进行等价转化．
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