Question

椭圆的中心为原点O，焦点在y轴上，离心率，过P（0，1）的直线l与椭圆交于A、B两点，且，求△AOB面积的最大值及取得最大值时椭圆的方程．

Answer 1

【答案】分析：设椭圆的方程为，直线l的方程为y=kx+1，由，知，把椭圆方程化为3x²+y²=3b²，联立，得（3+k²）x²+2kx+1-3b²=0．由此能求出△AOB面积的最大值为和取得最大值时椭圆的方程．
解答：解：设椭圆的方程为，
直线l的方程为y=kx+1（k≠0），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
∵，∴，则椭圆方程可化为，即3x²+y²=3b²，
联立，得（3+k²）x²+2kx+1-3b²=0 （*）
有，
而由已知，有x₁=-2x₂，代入得，
∵k≠0
∴
=
=
=
≤
=，
当且仅当时取等号                                                    （8分）
由，得，将，代入（*）式得，
所以△AOB面积的最大值为，取得最大值时椭圆的方程为．（13分）
点评：本题主要考查直线与圆锥曲线的综合应用能力，具体涉及到轨迹方程的求法及直线与椭圆的相关知识，解题时要注意合理地进行等价转化．