Question

设函数f(x)=

(2-x)(x+4)x≤2 (2-x)(x-a)x＞2

．
（Ⅰ）求函数f（x）在区间[-2，2]上的最大值和最小值；
（Ⅱ）设函数f（x）在区间[-4，6]上的最大值为g（a），试求g（a）的表达式．

Answer 1

分析：（Ⅰ）函数在区间[-2，2]上的解析式一定，找出函数的对称轴，由对称轴把区间[-2，2]分段，判出函数在两个区间上的单调性，则最大值和最小值可求；
（Ⅱ）函数f（x）=（2-x）（x-a）=-x²+（a+2）x-2a横过定点（2，0），根据a的不同取值范围对函数的对称轴所在的位置讨论，结合函数f（x）=（2-x）（x+4）=-x²-2x+8得到函数f（x）在区间[-4，6]上的单调性．最后通过比较极值与端点处的函数值得到函数在[-4，6]上的最大值．

解答：解：（Ⅰ）在区间[-2，2]上，f（x）=（2-x）（x+4）=-x²-2x+8．
其对称轴为x=-1，且开口向下，如图，

所以f（x）在区间[-2，-1]上单调递增，在区间[-1，2]上单调递减，
所以f（x）在区间[-2，2]上的最大值为f（-1）=-（-1）²-2×（-1）+8=9，
最小值为f（2）=-2²-2×2+8=0．
（Ⅱ）当x＞2时，f（x）=（2-x）（x-a）=-x²+（a+2）x-2a
函数的对称轴为x=

a+2

2

，且横过定点（2，0）．
当a≤2时，f（x）在[-4，-1]上单调递增，在[-1，6]上单调递减，
所以f（x）的最大值为f（-1）=9．
当2＜a≤8时，f（x）在[-4，-1]上单调递增，在[-1，2]上单调递减，
在[2，

a+2

2

]单调递增，在[

a+2

2

，6]上单调递减，
此时f（-1）=9，f(

a+2

2

)=(

a-2

2

)2≤9，所以f（x）的最大值为9．
当8＜a≤10时，f（x）在[-4，-1]上单调递增，在[-1，2]上单调递减，
在[2，

a+2

2

]单调递增，在[

a+2

2

，6]上单调递减．
此时f(

a+2

2

)=(

a-2

2

)2＞f(-1)，所以f（x）的最大值为

(a-2)2

4

．
当a＞10时，f（x）在[-4，-1]上单调递增，在[-1，2]上单调递减，在[2，6]单调递增，
此时f（6）=4（a-6）＞f（-1），所以f（x）的最大值为4（a-6）．
综上，g(a)=

9   a≤8 (a-2)2 4 8＜a≤10 4(a-6)   a＞10.

点评：本题考查了二次函数在闭区间上的最值，考查了分类讨论思想和数形结合的解题思想，解答此类问题的关键是正确分类，并判断出函数在不同区间上的单调性，对于最值点的选取应引起足够重视，此题是中档题．