Question

如图，点P(0，−1)是椭圆C₁：(a>b>0)的一个顶点，C₁的长轴是圆C₂：x²+y²=4的直径．l₁，l₂是过点P且互相垂直的两条直线，其中l₁交圆C₂于A，B两点，l₂交椭圆C₁于另一点D．

（Ⅰ）求椭圆C₁的方程；

（Ⅱ）求△ABD面积取最大值时直线l₁的方程．

 

Answer 1

 【命题意图】本题考查椭圆的几何性质，直线与圆的位置关系，直线与椭圆的位置关系等基础知识，同时考查解析几何的基本思想方法和综合解题能力

  【答案解析】

  （Ⅰ）由题意得

   所以椭圆C的方程为

．

  （Ⅱ）设A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)，D(x₀，y₀)．由题意知直线l₁的斜率存在，不妨设其为k，则直线l₁的方程为

y=kx−1．

   又圆C₂：x²+y²=4，故点O到直线l₁的距离

d=，

   所以

|AB|=2=2．

   又l₁^l₂，故直线l₂的方程为

x+ky+k=0．

   由

　 消去y，整理得

(4+k²)x²+8kx=0

   故

x₀=−．

   所以

|PD|=．

   设△ABD的面积为S，则

S=|AB|×|PD|=，

所以

S=£=，

当且仅当k=±时取等号

所以所求直线l₁的方程为

y=±x−1